用空間向量研究直線、平面的位置關系（1）教學設計

課程目標

學科素養(yǎng)

A. 能用向量語言描述直線和平面,理解直線的方向向量與平面的法向量.

B.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關系.

C.能用向量方法證明必修內容中有關直線、平面平行關系的判定定理.

D.能用向量方法證明空間中直線、平面的平行關系.

1.數(shù)學抽象：直線的方向向量與平面的法向量

2.邏輯推理：直線、平面平行關系的判定；

3.數(shù)學運算：空間向量的坐標運算解決直線、平面的平行關系.

教學過程

教學設計意圖

核心素養(yǎng)目標

一、情境導學

牌樓與牌坊類似,是中國傳統(tǒng)建筑之一,最早見于周朝。在園林、寺觀、宮苑、陵墓和街道常有建造.舊時牌樓主要有木、石、木石、磚木、琉璃幾種,多設于要道口。牌樓中有一種有柱門形構筑物,一般較高大。如圖,牌樓的柱子與地面是垂直的,如果牌樓上部的下邊線與柱子垂直,我們就能知道下邊線與地面平行。這是為什么呢?

二、探究新知

一、空間中點、直線和平面的向量表示

1.點的位置向量

在空間中,我們取一定點O作為基點,那么空間中任意一點P就可以用向量來表示.我們把向量稱為點P的位置向量.如圖.

2.空間直線的向量表示式

如圖①,a是直線l的方向向量,在直線l上取=a,設P是直線l上的任意一點,則點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t,使得=ta,即=t.如圖②,取定空間中的任意一點O,可以得到點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t,使+ta, ①

或+t. ②

①式和②式都稱為空間直線的向量表示式.由此可知,空間任意直線由直線上一點及直線的方向向量唯一確定.

1.下列說法中正確的是( )

A.直線的方向向量是唯一的

B.與一個平面的法向量共線的非零向量都是該平面的法向量

C.直線的方向向量有兩個

D.平面的法向量是唯一的

答案:B 解析:由平面法向量的定義可知,B項正確.

3.空間平面的向量表示式

如圖,取定空間任意一點O,空間一點P位于平面ABC內的充要條件是存在實數(shù)x,y,使+x+y.我們把這個式子稱為空間平面ABC的向量表示式.由此可知,空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定.

4.平面的法向量

如圖,直線l⊥α,取直線l的方向向量a,我們稱向量a為平面α的法向量.給定一個點A和一個向量a,那么過點A,且以向量a為法向量的平面完全確定,可以表示為集合{P|a=0}.

點睛：空間中,一個向量成為直線l的方向向量,必須具備以下兩個條件:①是非零向量;②向量所在的直線與l平行或重合.

2.若直線l過點A(-1,3,4),B(1,2,1),則直線l的一個方向向量可以是( )

答案:D 解析: =(2,-1,-3)=-3,故選D.

3.若兩個向量=(1,2,3),=(3,2,1),則平面ABC的一個法向量為( )

A.(-1,2,-1) B.(1,2,1) C.(1,2,-1) D.(-1,2,1)

答案:A

解析:設平面ABC的法向量為n=(x,y,z),則令x=-1,則y=2,z=-1.即平面ABC的一個法向量為n=(-1,2,-1).

二、空間中直線、平面平行的向量表示

點睛：1.空間平行關系的本質是線線平行,根據(jù)共線向量定理,只需證明直線的方向向量μ1∥μ2.此外,證明線面平行也可用共面向量定理,即只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內兩個不共線向量線性表示即可.

2.利用直線的方向向量證明直線與直線平行、直線與平面平行時,要注意向量所在的直線與所證直線或平面無公共點,證明平面與平面平行時也要注意兩平面沒有公共點.

4.若兩條直線的方向向量分別是a=(2,4,-5),b=(-6,x,y),且兩條直線平行,則x= ,y= .

答案:-12；15

解析:因為兩條直線平行,所以a∥b.于是,解得x=-12,y=15.

5.若平面β外的一條直線l的方向向量是u=(-1,2,-3),平面β的法向量為n=(4,-1,-2),則l與β的位置關系是 .

答案:平行

解析:因為un=(-1,2,-3)(4,-1,-2)=0,所以u⊥n.所以直線與平面平行,即l∥β.

例1.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中點,求平面EDB的一個法向量.

思路分析首先建立空間直角坐標系,然后利用待定系數(shù)法按照平面法向量的求解步驟進行求解.

解:如圖所示建立空間直角坐標系.依題意可得D(0,0,0),P(0,0,1),

E,B(1,1,0),于是

,=(1,1,0).

設平面EDB的法向量為n=(x,y,z),

則n⊥,n⊥,于是

取x=1,則y=-1,z=1,故平面EDB的一個法向量為n=(1,-1,1).

延伸探究：本例條件不變,你能分別求出平面PAD與平面PCD的一個法向量嗎?它們之間的關系如何?

解:如同例題建系方法,易知平面PAD的一個法向量為n1=(0,1,0),平面PCD的一個法向量為n2=(1,0,0),因為n1n2=0,所以n1⊥n2.

利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟

(1)設平面的法向量為n=(x,y,z).

(2)找出(求出)平面內的兩個不共線的向量的坐標a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).

(3)根據(jù)法向量的定義建立關于x,y,z的方程組

(4)解方程組,取其中的一個解,即得法向量.

1.如圖所示,已知四邊形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1, AD=,試建立適當?shù)淖鴺讼?

(1)求平面ABCD的一個法向量;

(2)求平面SAB的一個法向量;

(3)求平面SCD的一個法向量.

解:以點A為原點,AD、AB、AS所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,

則A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D,0,0,S(0,0,1).

(1)∵SA⊥平面ABCD,

∴=(0,0,1)是平面ABCD的一個法向量.

(2)∵AD⊥AB,AD⊥SA,∴AD⊥平面SAB,

∴=,0,0是平面SAB的一個法向量.

(3)在平面SCD中,=,1,0,=(1,1,-1).

設平面SCD的法向量是n=(x,y,z),則n⊥,n⊥,∴

得方程組

令y=-1,得x=2,z=1,∴n=(2,-1,1).

例2.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,點P,Q,R,S分別是AA1,D1C1,AB,CC1的中點.求證:PQ∥RS.

證明: (方法1)以點D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz.

則P(3,0,1),Q(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,1),=(-3,2,1),=(-3,2,1),

即PQ∥RS.

(方法2)

即RS∥PQ.

利用空間向量證明線與線平行的方法

要證明兩直線平行,可先求出兩直線的方向向量,然后證明兩直線的方向向量共線,從而證明兩直線平行.

2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點P在線段A1D上,點Q在線段AC上,線段PQ與直線A1D和AC都垂直,求證:PQ∥BD1.

證明:以點D為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,設正方 體的棱長為1,

D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),D1(0,0,1),

∴=(1,0,1),=(-1,1,0),設=(a,b,c),

取=(1,1,-1).易知=(-1,-1,1),∴=-,

∴,即PQ∥BD1.

例3.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是C1C,B1C1的中點.求證:MN∥平面A1BD.

思路分析思路一:可證明是共面向量;

思路二:可證明與平面A1BD中的是共線向量;思路三:可通過平面A1BD的法向量來證明.

證明:(方法1)∵

=,

∴是共面向量.

又∵MN?平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.

(方法2)∵

又∵MN?平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.

(方法3)以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,如圖.設正方體的棱長為1,則可求得

M,N,D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0).

于是=(1,0,1),=(1,1,0).

設平面A1BD的法向量為n=(x,y,z),

則

取x=1,得y=-1,z=-1,∴n=(1,-1,-1).

∵n=(1,-1,-1)=0,∴⊥n.

又∵MN?平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.

利用空間向量證明線面平行的方法

(1)利用共面向量法:證明直線的方向向量p與平面內的兩個不共線向量a,b是共面向量,即滿足p=xa+yb(x,y∈R),則p,a,b共面,從而可證直線與平面平行.

(2)利用共線向量法:證明直線的方向向量p與該平面內的某一向量共線,再結合線面平行的判定定理即可證明線面平行.

(3)利用法向量法:求出直線的方向向量與平面的法向量,證明方向向量與法向量垂直,從而證明直線與平面平行.

3.如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直, AB=, AF=1,M是線段EF的中點.

求證:AM∥平面BDE.

證明:建立如圖所示的空間直角坐標系.設AC∩BD=N,連接NE,則點N,E的坐標分別是,(0,0,1).

所以.

又點A,M的坐標分別是(,0),,

所以.

所以,且A?NE,所以NE∥AM.

又因為NE?平面BDE,AM?平面BDE,所以AM∥平面BDE.

例4.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心,P是DD1的中點,設Q是CC1上的點,問:當點Q在什么位置時,平面D1BQ∥平面PAO?

思路分析建立空間直角坐標系,設出點Q的坐標,然后可根據(jù)面面平行的判定定理轉化為向量共線問題或者利用兩個平面的法向量共線進行證明.

解:如圖所示,分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,在CC1上任取一點Q,連接BQ,D1Q.設正方體的棱長為1,

則O,P,A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),則Q(0,1,m).

(方法1)因為=(-1,-1,1),所以,

于是OP∥BD1.

=(-1,0,m),

當m=時,,即AP∥BQ,有平面PAO∥平面D1BQ,

故當Q為CC1的中點時,平面D1BQ∥平面PAO.

(方法2).

設平面PAO的法向量為n1=(x,y,z),

則有n1⊥,n1⊥,因此

取x=1,則n1=(1,1,2).

又因為=(-1,-1,1),=(0,-1,1-m).

設平面D1BQ的法向量為n2=(x,y,z),

則有n2⊥,n2⊥,因此

取z=1,則n2=(m,1-m,1).

要使平面D1BQ∥平面PAO,需滿足n1∥n2,

因此,解得m=,這時Q.

故當Q為CC1的中點時,平面D1BQ∥平面PAO.

利用空間向量證明面面平行的方法

(1)轉化為線面平行、線線平行,然后借助向量共線進行證明;

(2)通過證明兩個平面的法向量平行證明.

4.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分別為棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中點.

求證:平面AMN∥平面EFBD.

證明:建立如圖所示的空間直角坐標系,

則A(2,0,0),B(2,3,0),

M(1,0,4),N,E,F(1,3,4).

=(-1,0,4),=(-1,0,4).

∴.∴MN∥EF,AM∥BF.

∴MN∥平面EFBD,AM∥平面EFBD.

又MN∩AM=M,∴平面AMN∥平面EFBD.

金題典例：如圖,在正方體ABCD-ABCD中,求證:平面ABD∥平面BDC.

解題提示:證明面面平行常用的方法有兩種,一是證明它們的法向量共線;二是轉化為線面平行、線線平行即可.

證明:(方法1) 設正方體的棱長為1,建立如圖所示的空間直角坐標系,

則A(1,0,0),B(1,1,1),D(0,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0),C(0,1,1),

于是=(0,1,1),=(1,1,0),=(1,1,0),

設平面ABD的法向量為n1=(x1,y1,z1),

則n1⊥,n⊥,即

令y1=1,則x1=-1,z1=-1,可得平面ABD的一個法向量為n1=(-1,1,-1).

設平面BDC的法向量為n2=(x2,y2,z2).

則n2⊥,n2⊥,即

令y2=1,則x2=-1,z2=-1,可得平面BDC的一個法向量為n2=(-1,1,-1).

所以n1=n2,所以n1∥n2, 故平面ABD∥平面BDC.

(方法2)由方法1知=(1,0,1),=(1,0,1),=(0,1,1),=(0,1,1),

所以,即AD∥BC,AB∥DC,

所以AD∥平面BDC,

AB∥平面BDC.又AD∩AB=A,

所以平面ABD∥平面BDC.

(方法3)同方法1得平面ABD的一個法向量為n1=(-1,1,-1).

易知=(1,1,0),=(0,1,1).

因為n1=(-1,1,-1)(1,1,0)=0,

n1=(-1,1,-1)(0,1,1)=0,

所以n1也是平面BDC的一個法向量,

所以平面ABD∥平面BDC.

點睛：建立空間直角坐標系的關鍵是根據(jù)幾何體的特征,盡可能找到三條兩兩互相垂直且相交于一點的線段,特別是有垂直關系的一些幾何體,如正方體,長方體,直棱柱,有一條側棱垂直于底面的棱錐等,其中長方體(或正方體)是最簡單的模型.

創(chuàng)設問題情境，引導學生回顧空間中線線、線面、面面的位置關系，并提出運用空間向量解法立體幾何的問題，實現(xiàn)將空間幾何問題代數(shù)化的基本思想

由基本問題出發(fā)，讓學生感受到空間向量語言與立體幾何的對應關系，實現(xiàn)將立體幾何問題向量化。發(fā)展學生邏輯推理，數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。

通過典型例題的分析和解決，讓學生感受空間向量坐標運算在解決立體幾何問題的應用。發(fā)展學生數(shù)學抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。

通過典例解析，進一步讓學生體會空間向量坐標運算在解決立體幾何中的應用，提升推理論證能力，提高學生的數(shù)學運算及邏輯推理的核心素養(yǎng)。

三、達標檢測

1.若不重合的直線l1,l2的方向向量分別為a=(1,2,-2),b=(-3,-6,6),則( )

A.l1∥l2 B.l1⊥l2

C.l1,l2相交但不垂直 D.不能確定

答案:A 解析:因為,所以a∥b.又直線l1,l2不重合,所以l1,l2平行.

2.已知線段AB的兩端點坐標為A(9,-3,4),B(9,2,1),則直線AB( )

A.與坐標平面xOy平行 B.與坐標平面yOz平行

C.與坐標平面xOz平行 D.與坐標平面yOz相交

答案:B 解析:因為A(9,-3,4),B(9,2,1),所以=(0,5,-3),而坐標平面yOz的法向量為(1,0,0),顯然(0,5,-3)(1,0,0)=0,故直線AB與坐標平面yOz平行.

3.若平面α∥β,則下面可以是這兩個平面法向量的是( )

A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1) B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1)

C.n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1) D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2)

答案:D 解析:因為平面α∥β,所以兩個平面的法向量應該平行,只有D項符合.

4.已知l∥α,且l的方向向量為(2,m,1),平面α的法向量為,則m= .

答案:-8 解析:設a=(2,m,1),b=.因為l∥α,所以a⊥b.于是2+m+2=0,則m=-8.

5.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別是BB1,DD1的中點, 求證:(1)FC1∥平面ADE;

(2)平面ADE∥平面B1C1F.

證明:如圖,建立空間直角坐標系Dxyz,則D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),

所以=(0,2,1),=(2,0,0),=(0,2,1).

(1)(方法1)設n1=(x1,y1,z1)是平面ADE的法向量,則n1⊥,n1⊥,

即得令z1=2,則y1=-1,

所以n1=(0,-1,2).因為n1=-2+2=0,所以⊥n1.

又因為FC1?平面ADE,所以FC1∥平面ADE.

(方法2)設=λ+μ,則(0,2,1)=λ(2,0,0)+μ(0,2,1),

所以解得=0,所以是共面向量.又因為FC1?平面ADE,所以FC1∥平面ADE.

(2)=(2,0,0).

設n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的一個法向量.由n2⊥,n2⊥,

得

令z2=2,則y2=-1,所以n2=(0,-1,2).

因為n1=n2,所以平面ADE∥平面B1C1F.

通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算、邏輯推理、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。