集合的基本運算教學設計（1）

課程目標

學科素養(yǎng)

A.理解兩個集合的并集與交集的含義，會求簡單集合的交、并運算；

B.理解補集的含義，會求給定子集的補集；

C.能使用圖表示集合的關系及運算。

1.數(shù)學抽象：集合交集、并集、補集的含義；

2.數(shù)學運算：集合的運算；

3.直觀想象：用圖、數(shù)軸表示集合的關系及運算。

教學過程

落實核心素養(yǎng)目標

一、情景引入，溫故知新

已知一個班有30人，其中5人有兄弟，5人有姐妹，你能判斷這個班有多少是獨生子女嗎？如果不能判斷，你能說出需哪些條件才能對這一問題做出判斷嗎？

事實上，如果注意到“有兄弟的人也可能有姐妹”，我們就知道，上面給出的條件不足以判斷這個班獨生子女的人數(shù)，為了解決這個問題，我們還必須知道“有兄弟且有姐妹的同學的人數(shù)”．應用本小節(jié)集合運算的知識，我們就能清晰地描述并解決上述問題了．

問題：兩個實數(shù)除了可以比較大小外，還可以進行加法運算，類比實數(shù)的加法運算，兩個集合是否也可以“相加”呢？

二、探索新知

探究一 并集的含義

1.思考:考察下列各個集合，你能說出集合C與集合A、B之間的關系嗎？

（1） A=｛1，3，5，7｝， B=｛2，4，6，7｝，

C=｛1，2，3，4，5，6，7｝．

（2）A=｛x|x是有理數(shù)｝， B=｛x|x是無理數(shù)｝，

C=｛x|x是實數(shù)｝．

【答案】 集合C是由所有屬于集合A或?qū)儆贐的所有元素組成的．

2、歸納新知

（1）并集的含義

一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集（Union set）．

記作：A∪B（讀作：“A并B”）

即： A∪B ={x| x ∈ A ，或x ∈ B}

說明：兩個集合求并集，結(jié)果還是一個集合，是由集合A與B 的所有元素組成的集合（重復元素只看成一個元素）．

Venn圖表示：

（2）“或”的理解：三層含義：

（3）思考：下列關系式成立嗎？

（1） （2）

【答案】成立

（4）思考：若,則A∪B與B有什么關系？

【答案】

3、典型例題

例1．設A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求AUB．

例2．設集合A={x|-1

解：A∪B ={x|-1

【注意】由不等式給出的集合，研究包含關系或進行運算，常用數(shù)軸。

探究二 交集的含義

1、思考：考察下面的問題，集合C與集合A、B之間有什么關系嗎？

（1） A=｛2，4，6，8，10｝， B=｛3，5，8，12｝， C=｛8｝．

（2）A=｛x|x是立德中學今年在校的女同學｝，

B=｛x|x是立德中學今年在校的高一年級同學｝，

C=｛x|x是立德中學今年在校的高一年級女同學｝．

【答案】 集合C是由那些既屬于集合A且又屬于集合B的所有元素組成的．

2.交集的概念： 一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集（intersection set）．

記作：A∩B（讀作：“A交B”）

即： A ∩ B ={x| x ∈ A 且x ∈ B}

說明：兩個集合求交集，結(jié)果還是一個集合，是由集合A與B 的公共元素組成的集合．

3、思考：能否認為A與B沒有公共元素時，A與B就沒有交集？

答：不能．當A與B無公共元素時，A與B的交集仍存在，此時A∩B＝?.

4、典型例題

例3 立德中學開運動會，設A=｛x|x是立德中學高一年級參加百米賽跑的同學｝，B=｛ x|x是立德中學高一年級參加跳高比賽的同學｝，

求

解： 就是立德中學高一年級中那些既參加百米賽跑又參加跳高比賽的同學組成的集合．

所以，=｛x|x是立德中學高一年級既參加百米賽跑又參加跳高比賽的同學｝.

例4.設平面內(nèi)直線上點的集合為,直線上點的集合為,試用集合的運算表示直線的位置關系.

5、思考：下列關系式成立嗎？

（1）（2）。

【答案】成立

探究三： 補集的概念

1.在研究問題時，我們經(jīng)常需要研究對象的范圍，在不同范圍研究同一問題，可能有不同的結(jié)果

問題： 在下面范圍內(nèi)解方程

(1)有理數(shù)范圍

(2)實數(shù)范圍

2、全集與補集的定義

（1）全集的定義：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U.

（2）對于一個集合A ，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合 A 相對于全集U 的補集,簡稱為集合A的補集．

記作：

即：={x| x ∈ U 且xA}

說明：補集的概念必須要有全集的限制．

3、例題

例5．設U={x|x是小于9的正整數(shù)}，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，求．

解：根據(jù)題意可知：

U={1，2，3，4，5，6，7，8}，

所以：={4，5，6，7，8}，

= {1，2，7，8}．

例6．設全集U={x|x是三角形}，A={x|x是銳角三角形}，B={x|x是鈍角三角形}.求A∩B，。

例7. 已知全集U=R，集合

解：。

4.性質(zhì)：（1）；（2）。

通過初中所學及實例，引發(fā)學生的思考，大膽猜想.

通過實例，讓學生感知、了解，進而概括出并集的含義.提高學生用數(shù)學抽象的思維方式思考并解決問題的能力。

用圖形來表示并集，提高學生用數(shù)形結(jié)合法解決問題的能力。

加深對并集的理解。

通過思考進一步理解并集，教會學生解決和研究問題。

通過例題鞏固并集，提高學生解決問題的能力。

通過實例，讓學生感知、了解，進而概括出并集的含義.提高學生用數(shù)學抽象的思維方式思考并解決問題的能力。

通過思考進一步理解交集，教會學生解決和研究問題。

通過例題鞏固交集，提高學生解決問題的能力。

提高思考，加深對交集的理解。

引出學習補集和全集的重要性。

學生通過對實例的思考，去體驗知識方法。發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學問題，應用數(shù)學語言予以表達。

三、達標檢測

1．設集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{2,3,4}，則A∩B＝( )

A．{2,3} B．{0,1}C．{0,1,4} D．{0,1,2,3,4}

【解析】 因為集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{2,3,4}，所以A∩B＝{2,3}，故選A.

【答案】 A

2．已知集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2＜x≤5}，則A∪B＝( )

A．(2,3) B．[－1,5] C．(－1,5) D．(－1,5]

【解析】 ∵集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2＜x≤5}，∴A∪B＝{－1≤x≤5}．故選B.

【答案】 B

3．已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，則(?RA)∩B＝( )

A．{－2，－1} B．{－2}

C．{－1,0,1} D．{0,1}

【解析】 因為集合A＝{x|x>－1}，所以?RA＝{x|x≤－1}，則(?RA)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}．

【答案】 A

4．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若?UA＝{x|2≤x≤5}，則a＝________.

【解析】 ∵A＝{x|1≤x＜a}，?UA＝{x|2≤x≤5}，

∴A∪(?UA)＝U＝{x|1≤x≤5}，

且A∩(?UA)＝?，因此a＝2.

【答案】 2

5．已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜3或x≥7}，求： (1)A∪B；(2)C∩B.

【解】 (1)由集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，把兩集合表示在數(shù)軸上如圖所示：

得到A∪B＝{x|2＜x＜10}．

(2)由集合B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜3或x≥7}，

則C∩B＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}．

通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題的能力，感悟其中蘊含的數(shù)學思想，增強學生的應用意識。