角和與差的正弦、余弦和正切公式教學(xué)設(shè)計（1）

課程目標(biāo)

學(xué)科素養(yǎng)

1.了解兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程．

2．掌握由兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的余弦公式及兩角和與差的正弦、正切公式．

3．熟悉兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的靈活運用，了解公式的正用、逆用以及角的變換的常用方法．

4.通過正切函數(shù)圖像與性質(zhì)的探究，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合和類比的思想方法。

a.數(shù)學(xué)抽象：公式的推導(dǎo)；

b.邏輯推理：公式之間的聯(lián)系；

c.數(shù)學(xué)運算：運用和差角角公式求值；

d.直觀想象：兩角差的余弦公式的推導(dǎo)；

e.數(shù)學(xué)建模：公式的靈活運用；

教學(xué)過程

設(shè)計意圖

核心教學(xué)素養(yǎng)目標(biāo)

（一）創(chuàng)設(shè)問題情境

提出問題

１.兩角差的余弦公式

如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α＋β，α－β的正弦、余弦嗎？

下面，我們來探究cos(α－β)與角α，β的正弦、 余弦之間的關(guān)系

不妨令kπ＋β，k∈Z． 如圖5.5.1，設(shè)單位圓與軸的正半軸相交于點A（１，０），以軸非負半軸為始邊作角α，β，α—β，它們的終邊分別與單位圓相交于點（cosα，sinα）， （cosβ，sinβ），P(cos(α－β)，sin(α－β))．任意一個圓繞著其圓心旋轉(zhuǎn)任意角后都與原來的圓重合，這一性質(zhì)叫做圓的旋轉(zhuǎn)對稱性．連接，AP．若把扇形OAP,繞著點O旋轉(zhuǎn)β角，則點A，P分別與點 重合．根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)對稱性可知，

與重合，從而， 所以AP＝

根據(jù)兩點間的距離公式，得

化簡得:

=+

當(dāng)kπ＋β （k∈Z）時，容易證明上式仍然成立．

所以，對于任意角α，β有

=+ （Ｃ（α－β））

此公式給出了任意角α，β的正弦、余弦與其差角α－β的余弦之間的關(guān)系，

稱為差角的余弦公式，簡記作Ｃ(α－β).

典例解析

例１ 利用公式證明：

（１）= ; （２）= ．

證明: (1)= +

=0＋1=．

(2)== +

=(-1)．＝－ ．

例２ 已知，∈(,), ，是第三象限角，求的值．

解：由，∈(,),得

又由，是第三象限角，得．

所以=+

=() ()+() ()=

由公式 出發(fā) ， 你能推導(dǎo)出兩角和與差的三角函數(shù)的其他公式嗎？

下面以公式 為基礎(chǔ)來推導(dǎo)其他公式 ．

例如 ， 比較 與 ，并注意到 α ＋ β 與

之間的聯(lián)系 ：＝則由公式 ，

有=＝+=

于是得到了兩角和的余弦公式 ， 簡記作 C（α ＋ β ） ．

=．

問題探究

上面得到了兩角和與差的余弦公式 ． 我們知道 ， 用誘導(dǎo)公式五 （ 或六 ） 可以實現(xiàn)正弦 、 余弦的互化 ． 你能根據(jù) Ｃ （α ＋ β ） ， Ｃ （ α － β ） 及誘導(dǎo)公式五 （ 或六 ）， 推導(dǎo)出用任意角α ， β 的正弦 、 余弦表示 sin （ α ＋ β ）， sin（ α － β ） 的公式嗎 ？

通過推導(dǎo) ， 可以得到 ：

＝ ，（ S（α ＋ β ） ）

＝ ; （ S（α － β ） ）

你能根據(jù)正切函數(shù)與正弦函數(shù) 、 余弦函數(shù)的關(guān)系 ， 從 Ｃ(α β ) ， Ｓ( α β ) 出發(fā) ， 推導(dǎo)出用任意角 α ， β 的正切表示 ， 的公式嗎 ？

通過推導(dǎo) ， 可以得到 ：

T(α + β )

T(α β )

和 （ 差 ） 角公式中 ， α ， β 都是任意角 ． 如果令 α 為某些特殊角 ， 就能得到許多有用的公式 ． 你能從和 （ 差 ） 角公式出發(fā)推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式嗎 ？ 你還能得到哪些等式

公式 Ｓ(α ＋ β ) ， Ｃ(α ＋ β ) ， Ｔ(α ＋ β ) 給出了任意角 α ， β 的三角函數(shù)值與其和角 α ＋ β 的三角函數(shù)值之間的關(guān)系 ． 為方便起見 ， 我們把這三個公式都叫做 和角公式 ．

類似地 ， Ｓ(α－ β ) ， Ｃ(α－ β ) ， Ｔ(α－ β )都叫做 差角公式 ．

典例解析

例3. 已知，，求的值 ．

解 ： 由

得

所以

于是有

由以上解答可以看到 ， 在本題條件下有 ． 那么對于任意角α ， 此等式成立嗎 ？ 若成立 ， 你會用幾種方法予以證明?

例 ４ 利用和 （ 差 ） 角公式計算下列各式的值 ：

（ １ ）sin72cos42－ cos72sin42 ;

（ ２ ） cos20cos70－ sin20sin70 ;

（ 3 ） ;

分析 ： 和 、 差角公式把 α β 的三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化成了 α ， β 的三角函數(shù)式 ． 如果反過來 ， 從右到左使用公式 ， 就可以將上述三角函數(shù)式化簡 ．

解 ：（ １ ） 由公式 S（α － β ） ， 得

sin72cos42－ cos72sin42=Sin(72－ 42)=sin30=

（2） 由公式 C（α +β ） ， 得

cos20cos70－ sin20sin70= cos(20+70)=cos90=0

（3） 由公式 T（α +β ）及， 得

=== =

通過開門見山，提出問題，利用坐標(biāo)法，推導(dǎo)兩角差的余弦公式，培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng)。

通過對兩角差的余弦公式的運用，發(fā)展學(xué)生，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)；

通過其它和差角公式的推導(dǎo)和應(yīng)用，發(fā)展學(xué)生，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)；

通過對典型問題的分析解決，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模、邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)；

三、當(dāng)堂達標(biāo)

1． cos 65cos 35＋sin 65sin 35等于( )

A．cos 100 B．sin 100 C． D．

【解析】 原式＝cos(65－35)＝cos 30＝.

【答案】 C

2.已知α是銳角，sin α＝，則cos等于( )

A．－ B． C．－ D．

【解析】 因為α是銳角，sin α＝，

所以cos α＝，所以cos＝－＝.故選B．

【答案】 B

3．已知銳角α，β滿足cos α＝，cos(α＋β)＝－，則cos β等于( )

A． B．－ C． D．－

【解析】 因為α，β為銳角，cos α＝，cos(α＋β)＝－，

所以sin α＝，sin(α＋β)＝.

所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－＋＝.故選A．

【答案】 A

4．計算＝________.

【解析】 ＝＝tan 45＝1.

【答案】 1

5．已知α，β均為銳角，sin α＝，cos β＝，求α－β.

【解】 ∵α，β均為銳角，sin α＝，cos β＝，

∴sin β＝，cos α＝.

∵sin α

∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－＝－，

∴α－β＝－.

通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，鞏固對和差和差距角公式的運用，增強學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理的核心素養(yǎng)。