矩形的判定教案

1．理解并掌握矩形的判定方法；(重點)

2．能熟練掌握矩形的判定及性質的綜合應用．(難點)

一、情景導入

小明想要做一個矩形相框送給媽媽做生日禮物，于是找來兩根長度相等的短木條和兩根長度相等的長木條制作，你有什么辦法可以檢測他做的是矩形相框？看看誰的方法可行！

課件教案

二、合作探究

探究點一：對角線相等的平行四邊形是矩形

如圖所示，外面的四邊形ABCD是矩形，對角線AC，BD相交于點O，里面的四邊形MPNQ的四個頂點都在矩形ABCD的對角線上，且AM＝BP＝CN＝DQ.求證：四邊形MPNQ是矩形．

解析：要證明四邊形MPNQ是矩形，應先證明它是平行四邊形，由已知可再證明其對角線相等．

證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.

∵AM＝BP＝CN＝DQ，

∴OM＝OP＝ON＝OQ.

∴四邊形MPNQ是平行四邊形．

又∵OM＋ON＝OQ＋OP，

∴MN＝PQ.

∴平行四邊形MPNQ是矩形(對角線相等的平行四邊形是矩形)．

方法總結：在判斷四邊形的形狀時，若已知條件中有對角線，可首先考慮能否用對角線的條件證明矩形．

探究點二：有三個角是直角的四邊形是矩形

如圖，GE∥HF，直線AB與GE交于點A，與HF交于點B，AC、BC、BD、AD分別是∠EAB、∠FBA、∠ABH、∠GAB的平分線，求證：四邊形ADBC是矩形．

解析：利用已知條件，證明四邊形ADBC有三個角是直角．

證明：∵GE∥HF，

∴∠GAB＋∠ABH＝180.

∵AD、BD分別是∠GAB、∠ABH的平分線，

∴∠1＝∠GAB，∠4＝∠ABH，

∴∠1＋∠4＝(∠GAB＋∠ABH)＝180＝90，

∴∠ADB＝180－(∠1＋∠4)＝90.

同理可得∠ACB＝90.

又∵∠ABH＋∠FBA＝180，

∠4＝∠ABH，∠2＝∠FBA，

∴∠2＋∠4＝(∠ABH＋∠FBA)＝180＝90，即∠DBC＝90.

∴四邊形ADBC是矩形．

方法總結：矩形的判定方法和矩形的性質是相輔相成的，注意它們的區(qū)別和聯系，此判定方法只要說明一個四邊形有三個角是直角，則這個四邊形就是矩形．

探究點三：有一個角是直角的平行四邊形是矩形

如圖所示，在△ABC中，D為BC邊上的一點，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交CE的延長線于點F，且AF＝BD.連接BF.

(1)BD與DC有什么數量關系？請說明理由；

(2)當△ABC滿足什么條件時，四邊形AFBD是矩形？并說明理由．

解析：(1)根據“兩直線平行，內錯角相等”得出∠AFE＝∠DCE，然后利用“AAS”證明△AEF和△DEC全等，根據“全等三角形對應邊相等”可得AF＝CD，再利用等量代換即可得BD＝CD；(2)先利用“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”證明四邊形AFBD是平行四邊形，再根據“有一個角是直角的平行四邊形是矩形”可知∠ADB＝90.由等腰三角形三線合一的性質可知△ABC滿足的條件必須是AB＝AC.

解：(1)BD＝CD.理由如下：

∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DCE.

∵E是AD的中點，

∴AE＝DE.

在△AEF和△DEC中，

∴△AEF≌△DEC(AAS)，

∴AF＝DC.

∵AF＝BD，

∴BD＝DC；

(2)當△ABC滿足AB＝AC時，四邊形AFBD是矩形．理由如下：

∵AF∥BD，AF＝BD，